Algebra — aller Anfang ist leicht by Peter Göthner, Herbert Kästner

By Peter Göthner, Herbert Kästner

"Gebranntes sort scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

Show description

Read Online or Download Algebra — aller Anfang ist leicht PDF

Best algebra books

Algebra I Essentials For Dummies

With its use of a number of variables, features, and formulation algebra will be complicated and overwhelming to profit and straightforward to overlook. ideal for college kids who have to evaluation or reference serious strategies, Algebra I necessities For Dummies presents content material concerned about key subject matters basically, with discrete reasons of severe suggestions taught in a standard Algebra I direction, from services and FOILs to quadratic and linear equations.

CK-12 Basic Algebra, Volume 2

CK-12 Foundation's uncomplicated Algebra, quantity 2 of two FlexBook covers the next six chapters:Systems of Equations and Inequalities; Counting equipment - introduces scholars to linear structures of equations and inequalities in addition to likelihood and combos. Operations on linear platforms are coated, together with addition, subtraction, multiplication, and department.

Additional info for Algebra — aller Anfang ist leicht

Sample text

3) (Fo G)-l = G-l 0 F- 1 für beliebige Abbildungen. (4) F, G eindeutig (eineindeutig) => Fe G eindeutig (eineindeutig). ll) ein y mit (x, y) E F l und (y, u) E F 2 0 F 3 ; aus letzterem folgt wieder die Existenz eines z mit (y, z) E F2 und (z, u) E F3 • Danach ist aber (x, z) E F l 0 F 2 und (z, u) E F 3 , also (x, u) E (F! 0 F2 ) 0 F3 • Mithin gilt F l e (F 2 0 F 3 ) ~ (F l 0 F2 ) 0 F3 , und die umgekehrte Inklusionsbeziehung zeigt man ebenso (Abb. 9 illustriert dies für drei Funktionen fl' f2' f3).

Zwischen zwei noch so nahe beieinanderliegenden Zahlen aus R* liegt stets noch mindestens eine weitere gebrochene Zahl. Wie wir festgestellt haben, kann es bei endlichen Mengen niemals vorkommen, daß eine echte Teilmenge T einer Menge M äquivalent zu M ist, während dies bei unendlichen Mengen durchaus auftritt. Wir haben ja gezeigt, daß die Menge G der geraden Zahlen, N und R* paarweise zueinander gleichrnächtig sind, obwohl GeN c R* gilt. Es ist eine interessante Frage, ob es auch nichtabzählbare unendliche Mengen gibt oder ob mit den abzählbaren Mengen bereits der Reichtum unendlicher Mengen erschöpft ist.

Aufgaben 43 3. Mengen, die weder abzähl bar unendlich sind noch die Mächtigkeit eines Kontinuums besitzen. Offenbar kann jede abzählbar unendliche Menge als echte Teilmenge einer geeigneten Menge mit Kontinuumsmächtigkeit aufgefaßt werden, aber nicht umgekehrt. Also sind die abzählbar unendlichen Mengen "kleiner'" als solche mit der Mächtigkeit eines Kontinuums. Die unter 3. genannten Mengen besitzen eine noch größere Mächtigkeit als die eines Kontinuums. Es ist eine bis heute noch immer offene frage, ob es eine unendliche Menge gibt, die eine abzählbar unendliche Menge als echte Teilmenge besitzt, selbst echte Teilmenge einer Menge mit Kontinuumsmächtigkeit ist, aber selbst weder zu den unter I.

Download PDF sample

Rated 4.05 of 5 – based on 36 votes