Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster

By Otto Forster

F?r die vorliegende 6. Auflage wurde neben der Korrektur von Druckfehlern der textual content an manchen Stellen weiter ?berarbeitet und es kamen einige neue ?bungsaufgaben hinzu.
Die bew?hrten Charakteristiken des Buches haben sich nicht ge?ndert. Es dringt ohne gro?e Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten (Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation, Integration, Reihen-Entwicklung) vor und illustriert sie mit vielen konkreten Beispielen.
Das Buch ist bestens geeignet f?r Anf?nger-Vorlesungen in research f?r Mathematiker (Diplom und Lehramt), Informatiker und Physiker.

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Man entwickle die Zahl x = in einen b-adischen Bruch für 10, 16. 1m Im 16-adischen System (= Hexadezimalsystem) verwende man für fur die Ziffern 10 bis 15 die Buchstaben Abis A bis F. 2. Ein b-adischer Bruch a_k· .. ao· ala2 a-k· a1 a2a3a4··· heiSt periodisch, wenn natürliche heißt naturliche Zahlen r, s ;>- 1I existieren, so dass an+s = an für filr alle aIle n ;>- r. Man beweise: Ein b-adischer Bruch ist genau dann periodisch, wenn er eine rationale Zahl darstellt. 3. blb2b3b4 ... b1b2 b3b4'" die gegen dieselbe Zahl x E IR.

Für Ftir x = 1 1 1 1+ 2 + 4 + 8 + 1 1 1 1 - 2+ 4 - 8 + ±! erhält erhiilt man die bei beiden den Formeln Formein 1 1 16+··· = 1-1/2 =2, 1 1 2 16 =f ... = 1 + 1/2 = 3· Satz 7 (Linearkombination konvergenter Reihen). Seien Lan Lan und n=O Lbnn Lb n=O zwei konvergente Reihen reeller Zahlen und A, fl E lR. IR. Dann konvergiert auch die Reihe l:;;'=o(Aan + flbn) und es gilt n=O n=O n=O Dies ergibt sich sofort, wenn man das Corollar zu Satz 3 auf die Partial Partialsummen summen anwendet. Bemerkung. Mit den Begriffen aus der Linearen Algebra lässt liisst sich Satz 7 abstrakt so interpretieren: Die konvergenten Reihen bilden einen Vektorraum tiber über dem Körper Korper IR, JR, und die Abbildung, die einer konvergenten Reihe ihre Summe zuordnet, ist eine Linearform auf diesem Vektorraum.

Dann gibt es nach Definition zur Schranke K = 0 ein no E N mit an > 0 für fUr aIle alle n ~ no. Insbesondere ist an =1= 0 für fUr n ~ no. im( lim( 1I/an) I an) = O. Sei I'I' > 0 vorgegeben. Da liman = 00, gibt es ein N EN E N mit an> 1/10 III' für fUr aIle alle n ~ N. Daraus folgt 11a I/an< fUr aIle alle n ~ N. d. iman Ubergang zur Folge (-an) bewiesen. lim an = -00 wird durch Übergang (an)nEN for alle aile n (bzw. an < Ofor Satz 9. Sei (an )nEN eine Nullfolge mit an> an > 0 für 0 für aile alle n).

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