Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von by Ehrhard Behrends

By Ehrhard Behrends

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so obvious wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders in depth Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, used to be ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden.
Das Buch enthält viele Übungsaufgaben, deren ausführliche Lösungen als Online-Service zum Buch auf der speziell dafür eingerichteten Internetseite zu finden sind.
Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im textual content gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet guy - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.
Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur research gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw.

Online-Service: www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis

Die reellen Zahlen: Motivation - Mengen - Körper - angeordnete Körper - Induktion - die ganzen und die rationalen Zahlen - Archimedesaxiom - Vollständigkeit - komplexe Zahlen - Ergänzungen
Folgen und Reihen: Folgen - Konvergenz - Cauchy-Folgen - Reihen - Ergänzungen
Metrische Räume: grundlegende Definitionen - Kompaktheit - Stetigkeit
Differentiation: Motivation - Mittelwertsätze - Satz von Taylor - Potenzreihen - spezielle Funktionen - Fundamentalsatz der Algebra - einfache Differentialgleichungen

Studierende der Mathematik, Physik und Informatik an Universitäten ab dem 1. Semester

Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der FU Berlin. Er ist Autor von zahlreichen Fachbüchern, auch setzt er sich intensiv für die Popularisierung von Mathematik ein. Ebenfalls bei Vieweg+Teubner erschienen "Alles Mathematik" (herausgegeben mit M. Aigner) und "Fünf Minuten Mathematik".

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The writer wish to recognize his legal responsibility to all his (;Olleagues and associates on the Institute of Mathematical Sciences of recent York college for his or her stimulation and feedback that have contributed to the writing of this tract. the writer additionally needs to thank Aughtum S. Howard for permission to incorporate effects from her unpublished dissertation, Larkin Joyner for drawing the figures, Interscience Publishers for his or her cooperation and help, and especially Lipman Bers, who instructed the ebook in its current shape.

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Y E P. Ein Körper zusammen mit einem Positivbereich heißt angeordneter Körper . Für P schreibt man dann auch x > O. xE Testen Sie in den folgenden Fällen, ob es sich um Positivbereiche handelt: ? • P = 0 im Körper {O, I} (s. Seite 26). • P = {I} , ebenfalls in {O, I}. • P = {x I x :::: I} in Qnaiv' • P = {x I x < I} in Qnaiv. 2. Der dritte Schritt zum Axiomensystem für IR: IR ist ein angeordneter Körper. ) ist eine (von nun an festgehaltene) Teilmenge P, die Menge der positiven Elemente, ausgezeichnet.

6(iii) ausgenutzt wurde. Fall 2: -x > O. Diesmal multiplizieren wir die Ungleichung mit -x und erhalten (-x}2 = x 2 > (-x) ·0 = O. (viii) Wenn x > 0 ist, so dürfen wir wegen (i) das Element x-I betrachten. Mal angenommen, es wäre x-I< O. Dann würde durch Multiplikation dieser Ungleichung mit x > 0 mit Hilfe von (iii) auch 1 < 0 folgen, was wegen (vii) nicht möglich ist. Auch X-I = 0 scheidet aus, denn das liefert nach Multiplikation mit x den Widerspruch 1 = O. Fazit: Es bleibt nur X-I > 0 übrig.

Neutral Einheit invers 18 ? KAPITEL 1. , die innere Komposition ° y := 0, für alle x, y E Znaiv, definiert). ,,0" ist durch die - y auf Znaiv. >-> m" auf N n aiv. Da Sie noch keine Übung im Beweisen haben, hier einige erste Hinweise. Die übliche Situation ist wie in den vorstehenden Beispielen, dass nämlich Mund ,,0" vorgegeben sind . Betrachten wir etwa die Frage nach der Kommutativität. Falls ,,0" wirklich kommutativ ist und Sie das nachweisen sollen, so müssen Sie die Gleichheit von x ° y und y ° x für alle Möglichkeiten von x und y nachprüfen.

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