Analysis II [Lecture notes] by Dirk Ferus

By Dirk Ferus

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Damit gilt f¨ ur A = (a1 , . . , an ) ∈ M (n × n, R) und entsprechendes B nach der Produktregel n DA det(B) = det(a1 , . . , aj−1 , bj , aj+1 , . . , an ) j=1 n = n det(a1 , . . , aj−1 , j=1 n n = bkj ek , aj+1 , . . , an ) k=1 bkj det(a1 , . . , aj−1 , ek , aj+1 , . . , an ) k=1 j=1 n =:av jk n bkj avjk . ,n = (det(a1 , . . , aj−1 , ek , aj+1 , . . ,n , so ist DA det(B) gerade die Summe der Diagonalelemente der Matrix B adj(A), die sogenannte Spur dieser Matrix: DA det(B) = Spur(B adj(A)).

Induziert eine Norm verm¨oge x, x . x := Aber nicht jede Norm auf einem reellen Vektorraum kommt von einem Skalarprodukt. Notwendig und hinreichend ist die sogenannte Parallelogrammgleichung 2( x 2 + y 2) = x + y 2 + x − y 2. Das die Bedingung notwendig ist, rechnen Sie leicht nach. Dass sie auch hinreichend ist, ist schwieriger zu zeigen. Man definiert 1 ( x + y 2 − x − y 2) 4 und muss dann vor allem die Bilinearit¨at zeigen. Einen Beweis finden Sie zum Beispiel in W. Klingenberg, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Springer 1984, p.

Wir nehmen an, dass auf V eine Norm . gegeben ist, und definieren (λ, x) := |λ| + x . Rechnen Sie nach, dass das wirklich eine Norm definiert. Damit gilt dann: |λ − λ0 | x − x0 |R(λ, x)| = ≤ x − x0 → 0 (λ, x) − (λ0 , x0 ) |λ − λ0 | + x − x0 f¨ ur (λ, x) → (λ0 , x0 ). Daraus folgt die Behauptung. Wir halten fest: D(λ0 ,x0 ) µ(λ, x) = λ0 x + λx0 . Das ist eine Art Produktregel, auf die wir noch zur¨ uckkommen. 51 Die beiden folgenden Beispiele sind u ¨beraus wichtig! Sie stellen einen ersten Schritt zur expliziten praktischen Berechnung von Ableitungen dar.

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