Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1 by Ina Kersten

By Ina Kersten

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Es ist f (e1 ) = a11 e1 + a21 e2 = (a11 , a21 ) f (e2 ) = a12 e1 + a22 e2 = (a12 , a22 ) ur 1 i, j 2. mit aij ∈ ❘ f¨ Benutzen wir die Spaltenschreibweise“ ” 1 0 e1 = , e2 = =⇒ f (e1 ) = 0 1 a11 a21 und f (e2 ) = a12 a22 Dann wird f bez¨ uglich der Standardbasis beschrieben durch ein rechteckia11 a12 ges Schema . Dies nennen wir eine 2 × 2-Matrix. a21 a22 Definition. Sei K ein K¨ orper. Eine m × n-Matrix u ¨ber K ist eine Anordnung von mn Elementen aus K nach folgendem Schema ⎞ ⎛ a11 a12 · · · a1n ⎜ a21 a22 · · · a2n ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ..

Erzeugendensystem Sei v ∈ V , dann gibt es µ1 , . . , µs ∈ K mit f (v) = µ1 f (v1 ) + · · · + µs f (vs ), da f (v1 ), . . , f (vs ) Basis von bild(f ), =⇒ f (v) = f (µ1 v1 + · · · µs vs ), da f K-linear =⇒ v − µ1 v1 − · · · − µs vs ∈ kern(f ) =⇒ v − µ1 v1 − · · · − µs vs = λ1 u1 + · · · + λr ur mit λ1 , . . 8 Folgerung aus der Dimensionsformel 53 da u1 , . . , ur Basis von kern(f ) ist. Damit ist v Linearkombination der Elemente aus B. 8 Folgerung aus der Dimensionsformel Korollar. Seien V und W zwei endlich dimensionale K-Vektorr¨aume, und es gelte ur jede K-lineare Abbildung f : V −→ W dimK V = dimK W .

Wt } eine Basis von U1 + U2 ist. Da ussen wir noch B offensichtlich ein Erzeugendensystem von U1 +U2 bildet, m¨ die lineare Unabh¨angigkeit pr¨ ufen. Sei also (∗) λ1 u1 + · · · + λr ur + µ1 v1 + · · · + µs vs + µ1 w1 + · · · + µt wt = 0 Es folgt u ˜ := λ1 u1 + · · · + λr ur + µ1 v1 + . . + µs vs = −µ1 w1 − · · · − µt wt ∈U1 ∈U2 also u ˜ ∈ U1 ∩ U2 . ˜ = α1 u1 + . . + αr ur . Es folgt Insbesondere gibt es α1 , . . , αr ∈ K mit u u ˜ = α1 u1 +· · ·+αr ur +0v1 +. +0vs = λ1 u1 +· · ·+λr ur +µ1 v1 +.

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