Determinanten und Matrizen by Prof. Dr. Fritz Neiss (auth.)

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11 = [k 1(1< + I)! (n + 1) 1 (2 n - k) ! (n - 1) ! n IJ Cl! 21 ... J. Die läßt sich auf LI" der Aufg. 14 zurückführen. 16. 1jJ(n) ist die Anzahl der Glieder einer n-reihigen Determinante, die keinen Faktor aus der Hauptdiagonale enthalten, oder, was dasselbe ist, die Anzahl aller Permutationen von n Elementen, die kein Element an seiner Stelle lassen; man zeige: 1jJ (n) = n! 1 1 - 3! + ... 1) . 42 Matrizen. Zuerst beweise man die Rekursionsformel: 1p(n) = (n - I) [1p (n - I) + 1p(n - 2)]. Wie viele von diesen Gliedern haben positives und wie viele negatives Vorzeichen?

Die Ausdrucksweise gilt auch für Produkte aus mehreren Faktoren, z. B. sind vier Matrizen verkettet, wenn sie der Reihe nach vom Typ (m, n), (n, r), (r, s), (s, t) sind; ihr Produkt ist dann vom Typ (m, t). Für quadratische Matrizen gleicher Reihenzahl gilt der Satz 22: Die Determinante eines Produktes ist gleich dem Produkt der Determinanten der einzelnen Faktoren. Denn das Produkt der Determinanten kann ebenfalls durch Multiplikation von Zeilen mit Spalten gebildet werden. Für quadratische Matrizen ist auch die Potenz, etwa 2 = 2{.

24 Determinanten. Satz 13: Sind die Elemente einer Reihe denen einer parallelen Reihe proportional, so ist D = O. Beweis: Es sei für die bei den ersten Zeilen: Dann nehme man A vor die Determinante: D=AD'. In D' sind die beiden ersten Zeilen gliedweise einander gleich. Werden diese vertauscht, so tritt einerseits Zeichenwechsel, andererseits keine Veränderung ein, also f)' = -D' = O. Satz 14: D ändert sich nicht, wenn man die mit einem Faktor A multiplizierten Glieder einer Reihe zu denen einer parallelen Reihe addiert.

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