Grothendieck Cohomologie locale des faisceaux coherents et

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Example text

R´eciproquement, soit I une enveloppe injective de k. 1 (ii) que V = HomA (k, I) est isomorphe `a k. Or on a la double inclusion k ⊂ V ⊂ I; V est un espace vectoriel sur k qui se d´ecompose en la somme directe de k et d’un sous-espace vectoriel V de I tel que V ∩ k = 0. Or I est une extension essentielle de k, d’o` u V = 0 et V = k. 9. — Soit A un anneau local noeth´erien ; tout module dualisant pour A est localement artinien. D´emonstration. — Soit I un module dualisant ; c’est une enveloppe injective de k.

60 46 ´ IV. ,an +s . Notons que la donn´ee d’un A-homomorphisme w d’un A-module M dans A ´equivaut ` a la donn´ee d’une forme K-lin´eaire w : M → K qui soit continue sur les sousmodules de type fini. Dans le cas M = Hnm (Ωn ), la d´efinition de w ´equivaut donc `a celle d’une forme lin´eaire ρ : Hnm (Ωn ) −→ K, appel´ee forme r´esidu (∗) . ,an ) = 1 si ai = r − 1 pour 1 0 sinon. i n (∗) Pour une ´ etude plus d´ etaill´ ee de la notion de r´ esidu, Cf. R. Hartshorne, Residues and Duality, Lect. , vol.

Soient A un anneau local noeth´erien, m l’id´eal maximal et M un A-module de type fini. Supposons que A est quotient d’un anneau local r´egulier. Posons X = Spec(A), et pour tout x ∈ X, mx = mAx . 5. — Les deux conditions suivantes sont ´equivalentes : a) Hi (M) est de longueur finie, {x} (Mx ) = 0. b) ∀ x ∈ X − {m}, Hi−dim mx D´emonstration. 2) nous pouvons supposer A r´egulier. 1) nous avons : Hi (M) = D(Extr−i (M, A)), o` u r = dim A. 7), a) est ´equivalent(4) `a : Extr−i (M, A) est de longeur finie.