Linear Determinants with Applications to the Picard Scheme by Birger Iversen

By Birger Iversen

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Example text

Aus dieser Fărbung werden wir eine Relation n ableiten und dann die Regel des doppelten Abzăhlens verwenden. Aus der Definition der Relation werden wir unmittelbar folgern kănnen, dass die Spaltensumme gerade ist. Die Annahme, dass das Spiel unentschieden endet, impliziert andererseits, dass die Zeilensumme ungerade sein muss. Dieser Widerspruch zeigt, dass es so eine Fărbung fiir die das Spiel unentschieden endet nicht geben kann. Fiir die Definition der Relation n markieren wir zunăchst die Felder des Spielfeldes nach folgendem Prinzip mit den Farben 1,2 und 3: Alle Felder, die dunkelgrau markiert sind und die vom unteren Rand aus iiber dunkelgraue Felder erreichbar sind, werden mit 1 markiert.

Fur Werte1:::; k :::; n kann man analog zu den Binomialkoeffizienten wieder eine rekursive FormeI herleiten. 20 (Stirling-Dreieck zweiter Art) Fiir alle k, n E N mit n ;::: k gilt: Sn,k = Sn-1,k-1 + kSn- 1,k. Beweis: Wir geben wieder einen kombinatorischen Beweis mit Hilfe der Summenregel an. Dazu teilen wir die k-Partitionen der Menge A = {al, ... , an} in zwei disjunkte Klassen auf. In der ersten Klasse befinden sich alle Partitionen, in denen sich das Element an alleine in einer Menge befindet.

32 Die partielle Ordnung (1'1, :S) mit der iiblichen "kleiner oder gleich" Relation ist linear geordnet. Die partielle Ordnung (1'1, 1) ist es hingegen nicht. Eine lineare Erweiterung einer partiellen Ordnung (S, ::S) ist eine lineare Ordnung (S, ::SL), so dass fur alle Paare x, y E S gilt: falls x ::S y, so gilt auch X::SL y. 33 Die partielle Ordnung (1'1, :S) ist eine lineare Erweiterung der partiellen Ordnung (1'1, 1). Das Hasse-Diagramm einer partiellen Ordnung (S, ::S), benannt nach dem deutschen Mathematiker HELMUT HASSE (1898-1979), ist eine anschauliche Art, eine partielle Ordnung graphisch darzustellen.

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